设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，F为椭圆E的右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过F且斜率为k的直线与椭圆E交于D，G两点，若满足AD⊥AG，求k的值；
（3）过点P（2，0）的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：x=t的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记△BMP，△MNP，△CNP的面积分别为S₁，S₂，S₃，试问：是否存在常数t,使得S₁，

1

2

S2，S₃总成等比数列？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0），过点D（1，0）的直线l与椭圆C交于异于A₁，A₂的M，N两点，当l与x轴垂直时，|MN|=

6

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线A₁M与直线A₂N交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

已知函数f（x）=e^x-1+ax²+bx-b,且曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（3-e）x+e-3．
（1）求a,b的值；
（2）证明：对任意的x≥1，f（x）≥0恒成立．（参考数据：ln2≈0.69）

已知函数f(x)=ex-

lnx

x

-1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g(x)=f(x)-

a

x

有两个零点x₁，x₂（其中x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx-ax+1，A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂））是函数图象上任意不同的两点，设直线AB的斜率为k,若对于任意两点A，B，恒有k＞-x₁-x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）当a是（1）中的最小正整数时，直线y=t与y=f（x）的图象交于不同的两点．求证：两个交点的横坐标不小于t+ln2．

已知函数f(x)=ln

1

x

+ax，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的极值，当f（x）的极值为2时，求a的值；
（2）证明：当x∈(0，

π

2

)时，sinx＜x；
（3）求证：sin

1

4

+sin

1

9

+⋯+sin

1

(n+1)2

＜ln2．

已知函数f（x）=e^ax⋅sinx.
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）当a≥1，若∀x∈[0，

π

2

]，恒有f（x）≤bx成立，求b-e²a的最小值．

已知函数f（x）=x³-ax+1的一个驻点为x=1，则实数a=__________．

用数学归纳法证明：1+

1

2

+

1

3

+⋯+

1

2n-1

＜n(n∈N*，n＞1)，从n=k到n=k+1时，不等式左边需增加的代数式为 __________．