已知等差数列{a_n}，a₁=12，前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n的最大值并指出此时n的值．

已知函数f（x）=xlnx+2x,g（x）=xe^x+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）＜g（x）．

已知函数f(x)=xlnx+

1

2

x2+ax-

1

2

的图象与直线y=-2相切．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，经过点P（0，1），离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在椭圆C上，若直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，且满足k1•k2=

3

4

，求△PMN面积的最大值．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P在椭圆E上，PF₂⊥F₁F₂，且|PF₁|=3|PF₂|．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x²+y²=2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|²的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，且|

AF

|=3，以F为圆心，OF为半径的圆F经过点B．
（1）求C的方程；
（2）过点A且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于P，
（ⅰ）设点P在第一象限，且直线l与y=-x交于H．若

| OH |

| PH |

=

4 2

5

sin∠HAO，求k的值；
（ⅱ）连接PF交圆F于点T，射线AP上存在一点Q，且

QT

⋅

BT

为定值，已知点Q在定直线上，求Q所在定直线方程．

历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l'表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F₁（-c,0），F₂（c,0）（c＞0），若由F₁发出的光线经椭圆两次反射后回到F₁经过的路程为8c.对于椭圆C上除顶点外的任意一点P，椭圆在点P处的切线为l,F₁在l上的射影为H，其中|OH|=2

2

．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过F₂作斜率为k（k＞0）的直线m与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方）．点M，N是椭圆上异于A，B的两点，MF₂，NF₂分别平分∠AMB和∠ANB，若△MF₂N外接圆的面积为

81π

8

，求直线m的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-6

=1经过点P（2，1）．
（1）求C的离心率；
（2）直线l交C于A，B两点，若直线PA，PB关于直线x=2对称，求l的斜率．

已知函数f（x）=x²+x-5．
（1）利用导数的定义求导函数f'（x）；
（2）求曲线y=f（x）在点（2，1）处的切线的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(1，

3

2

)，且焦距为2

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若Q为x轴上一定点（m,0），过点Q的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′（B′，A，B三点互异），直线AB′交x轴于点P，试探究|OP|•|OQ|是否为定值，若为定值，并求出该定值．