一个正三棱柱下底面是等边三角形，各侧面是全等的矩形，已知底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．

甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．

性别人数	参加考核但未能签约的人数	参加考核并能签约的人数
男生	45	15
女生	60	10

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为

1

2

，通过乙地的各项程序的概率依次为

1

3

，

3

5

，m,其中0＜m＜1．
（1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；
（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．
参考公式与临界值表：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（χ2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635

移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1～5．
（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（xn,yn），两个变量满足一元线性回归模型

Y=bx+e E(e)=0，D(e)=δ2

（随机误差e_i=y_i-bx_i）．请推导：当随机误差平方和Q=

n

i=1

e

2 i

取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
（ii）令变量x=t-

t

，y=w-

w

，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型

Y=bx+e E(e)=0，D(e)=σ2

利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数r=

n i=1 (ti- t )(wi- w )

n i=1 (ti- t )2 n i=1 (wi- w )2

，

5

i=1

(wi-

w

)2=76.9，

5

i=1

(ti-

t

)(wi-

w

)=27.2，

5

i=1

wi=60.8，

769

≈27.7．

第22届卡塔尔世界杯（FIFAWorldCupQatar2022）足球赛，于当地时间2022年1月20日（北京时间1月21日）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，共计4场赛事．除东道主卡塔尔外，另有来自五个大洲足球联合会的31支球队拥有该届世界杯决赛参赛资格，各大洲足联各自举办预选赛事以决定最终出线的球队．世界杯群星荟萃，拨动着各国人民的心弦，向人们传递着正能量和欢乐．
（1）某中学2022年举行了“学习世界杯，塑造健康体魄”的主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显增强，现将该学校近5个月体重超重的人数进行了统计，得到如下表格：

月份x	1	2	3	4	5
体重超重人数y	640	540	420	300	200

若该学校体重超重人数y与月份x（月份x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该学校体重超重的人数降至50人以下？
（2）在某次赛前足球训练上，开始时球恰由A控制，此后规定球仅在A、B和C三名队员中传递，已知当球由A控制时，传给B的概率为

1

2

，传给C的概率为

1

2

；当球由B控制时，传给A的概率为

2

3

，传给C的概率为

1

3

；当球由C控制时，传给A的概率为

3

5

，传给B的概率为

2

5

．
①记P_n为经过n次传球后球恰由A队员控制的概率，求P₁，P₂；
②若传球次数n=3，C队员控制球的次数为X，求E（X）．
参考公式：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如图①，在等腰梯形ABCD中，点E为边BC上的一点，AD∥BC，AD=CD=1，△ABE是一个等边三角形，现将△ABE沿着AE翻折至△APE，如图②，
（1）在翻折过程中，求四棱锥P-AECD体积的最大值；
（2）当四棱锥P-AECD体积最大时，求平面AEP与平面PCD的夹角的余弦值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，BC₁∩B₁C=O，AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）求证：AB⊥B₁C；
（2）若∠B₁BC=60°，直线AB与平面BB₁C₁C所成的角为30°，求二面角A₁-B₁C₁-A的正弦值．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC=2BC=2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边长，a=2，且（b+2）（sinA-sinB）=c（sinB+sinC）．
（1）求角A的值；
（2）求△ABC面积的取值范围．

已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,且b=1，D为AB边上一点，且∠ADC=

π

3

．
（1）若CD为中线，且CD=

3

3

，求a；
（2）若CD为∠ACB的平分线，且△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．

如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足

3 c

acosB

+tanB=

3

．
（1）求A；
（2）在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC=

3

AC，∠ACE=∠A，∠EBC=30°，BC=2，求△ABC的面积．