102961 难度：4

已知a＞0，函数f(x)=

1

a

ex．
（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；
（2）证明：当a=1或0＜a≤

2

e

时，f(x)≥

1

2

ax+

x+1

．

102962 难度：5

已知函数f(x)=

x

ex

和g(x)=

mlnx

x

．
（1）分别求函数f（x）和g（x）的最大值；
（2）若m=1，求证：曲线y=f（x）和y=g（x）有唯一公共点P（x₀，y₀），且直线y=y₀与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并探究这三个交点（从左向右）的横坐标是否成等比数列？

102963 难度：3

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0．
（1）当a=4时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

102964 难度：3

设f(x)=alnx+

1

2x

-

3

2

x+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间、极值；并求其区间[

1

e

，e]上的最值．（e=2.718281⋯）

102965 难度：3

函数f(x)=lnx+

1

2

ax2-(a+2)x+

1

2

a+3，其中a≥1．
（1）若函数f（x）在区间[x₁，x₂]上单调递减，求x₂-x₁的最大值；
（2）曲线C：y=f（x）在（1，1）处的切线为l,若直线l与曲线C有且仅有一个公共点，求a满足的条件．

102966 难度：3

已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

3

，过点F₂且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且△F₁PF₂的面积为

10

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A（3，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，EF₁⊥x轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若S_△SMA=2S_△SEN，求MN所在的直线方程．

102967 难度：3

已知函数f(x)=ln(x+1)+

4

x+2

-2．
（1）证明：函数f（x）有且只有一个零点；
（2）设g(x)=f(x-1)+

2x-2-a

x+1

，a∈R，若x₁，x₂是函数g（x）的两个极值点，求实数a的取值范围，并证明g（x₁）+g（x₂）=2g（1）．

102968 难度：3

已知函数f（x）=（x+b）（e^x-a）（b＞0）在点P（0，f（0））处的切线方程为：y=x.
（1）求实数a,b的值；
（2）证明：f(x)≥(

1

e

-1)(x+1)；
（3）若方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：x2-x1≤1+

m(1-2e)

1-e

．

102969 难度：3

已知函数f（x）=x³-x²-5x+3．
（1）求f（x）的单调区间：
（2）求证：f（x）在区间（2，+∞）上有且仅有一个零点．

102970 难度：3

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若函数f（x）在[a,+∞）上的最小值是-

7

3

，求实数a的取值范围．