在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若c=3，C=

π

3

，sinB=2sinA，则a=__________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若A=

π

3

，b+2a=4asin²

C

2

，则tanC=__________．

如图所示，要在两山顶M、N间建一索道，需测量两山顶M、N间的距离．已知两山的海拔高度分别是MC=100

3

米和NB=50

2

米，现选择海平面上一点A为观测点，从A点测得M点的仰角∠MAC=60°，N点的仰角∠NAB=30°以及∠MAN=45°，则MN等于 __________米．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=

19

，C=

2π

3

，A＞B，△ABC的面积为

3 3

2

，则a=__________，b=__________．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若A=30°，C=45°，a=4，则c=__________．

海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

（其中p=

1

2

(a+b+c)），a,b,c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知在△ABC中，a=2，b=3，c=4，则该三角形内切圆的半径为 __________．

在△ABC中，其三边分别为a,b,c且三角形的面积S=

a2+b2-c2

4

，则角C=__________．

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且∠B=120°，b=4，则三角形外接圆半径为 __________．

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和 __________这两边与它们夹角的 __________的积的两倍．
符号语言：a²=__________，b²=__________，c²=__________．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,a=2，B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围是__________．