如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是等边三角形，AB⊥BC，PB=PC．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若AC=2AB=4，则在棱PA上是否存在动点M，使得平面MBC与平面ABC的夹角为60°？若存在，试确定点M的位置；若不存在，说明理由．

已知随机变量X的分布列为：

X	5	6	7	8	9
P	0.1	a	0.2	b	0.3

（1）若E(X)=

38

5

，求a、b的值；
（2）记事件A：X≥7；事件B：X为偶数．已知P(B|A)=

1

6

，求a,b的值．

贵州榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，简称“村超”，该活动在榕江县如火如荼的进行中，这项活动大大促进了当地村民参加体育活动的积极性．为了更好的提高全民素质，某镇建议成人每周进行5.5小时至8小时的运动．已知“A村”有56%的居民每周运动总时间超过8小时，“B村”有65%的居民每周运动总时间超过8小时，“C村”有70%的居民每周运动总时间超过8小时，且A，B，C三个村的居民人数之比为5：6：9．
（1）从这三个村中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过8小时的概率；
（2）假设这三个村每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X∼N（8.5，σ²）．
现从这三个村中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为8至9小时的概率．

一袋中有3个白球和4个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X_n．
（1）求X₂的数学期望E（X₂）；
（2）设P（X_n=3+k）=p_k，k=0，1，⋯，4，求P（X_n+1=3+k）（用p_k和k表示）．

某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入．现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：

7

≈2.65，

7

i=1

yi=266，

7

i=1

xiyi=1197，

7 i=1 (yi- y )2

=25.8，

7

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)=133．
（1）根据图中所给出的折线图，判断

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

和

̂

y

=

̂

m

ex+

̂

n

哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求相关系数r（保留两位小数）并求药材种植收入y关于年份代码x的回归直线方程；
（3）若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响．
附：相关系数r=

7 i=1 (xi- x )(yi- y )

7 i=1 (xi- x )2 7 i=1 (yi- y )2

，回归直线方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某中学调研小组调查某校清晨跑操（晨跑）对身体素质的影响，现对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：

	参加晨跑	不参加晨跑	合计
身体素质优秀	32	8	40
身体素质一般	10	30	40
合计	42	38	80

（1）利用独立性检验、判断是否有99.5%的把握认为参加晨跑与身体素质有关；
（2）将频率视为概率，若从该校身体素质优秀的学生随机抽取3位学生，记参加晨跑的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.01	0.05	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x,然后放回，再抽取一张，其上数字记作y,令ξ=x•y.求：
（1）ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的数学期望与方差．

ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以ξ表示抽取
的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．

若“∀x∈[1，2]，x²-ax+1≤0”为真命题，则实数a的取值范围为 __________．

命题“∀x∈R，e^x-x-1≥0”的否定为 __________．