已知（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N⁺）展开式的前三项系数成等差数列．
（1）求n的值；
（2）求这个展开式的一次项．

已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn(n∈N*)，该展开式二项式系数和为32．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+⋯+a_n的值．

二十大报告将“人与自然和谐共生的现代化”上升到“中国式现代化”的内涵之一，再次明确了新时代中国生态文明建设的战略任务，总基调是推动绿色发展，促进人与自然和谐共生．某环境保护机构为了调查研究人们“保护环境意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如表：

	保护环境意识强	保护环境意识弱	合计
女性	100		120
男性		20
合计			200

（1）根据统计数据完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为人们保护环境意识的强弱与性别有关？并说明原因；
（2）用分层抽样的方法在“保护环境意识强”的受采访人员中选取8人参加一次公益活动，需要在这8个人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员恰为一男一女的概率．
附：

α	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式：x²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

已知(2

x

-

1

x

)n的展开式中各项的二项式系数之和为128．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．

（1）证明：1-7×

C

1 n

+72×

C

2 n

-73×

C

3 n

+⋯+(-1)n×7n×

C

n n

=(-6)n；
（2）证明：3²ⁿ⁺²-1能被8整除．

已知(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+⋯+a6(x-1)6．
（1）求a₁+a₂+⋯+a₆；
（2）求a₁+2a₂+3a₃+⋯+6a₆．

已知C1：y=ax+b(a,b∈{0，1，2，3，4})，C2：x2+y2=2．求：
（1）C₁，C₂有交点的概率P（A）；
（2）设交点个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

某公司举办公司员工联欢晚会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有2个红球和4个白球的箱子中随机摸出3个球，每摸出一红球奖励100元：
方案二：有放回从装有2个红球和4个白球的箱子中随机摸出3个球，每摸出一红球奖励100元，分别用随机变量X、Y表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额．
（1）求随机变量X的分布列和数学期望：
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案？请说明理由．

已知f(x)=(2x-

1

x

)n(n∈N*)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等．
（1）求n及展开式中各项系数的和；
（2）求(1+

1

x4

)f(x)的常数项．

新学期开学，某校新转学了5名学生，现要求把学生全部分配到一班、二班、三班3个班级中，每个班级至少要分配1名学生，其中甲学生特别要求不去三班，则不同的分配种数有多少？（请写出详细的分类、分步过程）