已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（4，0），P（-3，1）为双曲线C上一点．
（1）求C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0），且不过点P，若l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D，若

PA

•

PD

=0，试判断k是否为定值，若是，求出k值，若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx-1+

1

x

，g(x)=2ax+

1

2

x2，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若h（x）=4f（x）+4-

4

x

+g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围，并证明：-x₁-

8

x 2 1

＜h(x2)＜-6+4ln2..

已知函数f（x）=xe^x+x,g（x）=2x+lnx+m.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

如图，点A为椭圆Γ：

x2

4

+y2=1的上顶点，圆C：x²+y²=1，过坐标原点O的直线l交椭圆Γ于M，N两点．
（1）求直线AM，AN的斜率之积；
（2）设直线AM：y=kx+1（k≠0），AN与圆C交于P，Q两点，记直线MN，PQ的斜率分别为k₁，k₂，探究是否存在实数λ，使得k₁=λk₂？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=lnx-

a

x

（1）若f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值；
（2）设g（x）=lnx-a,若g（x）＜x²在（0，e]上恒成立，求a的取值范围．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

1

2

，且椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆E的方程．
（2）设A，B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，P在椭圆E上，且点P异于A，B两点，O为原点，直线AP交x轴于点M，直线BP交x轴于点N，试问|OM|⋅|ON|是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2，且C过点P(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P(0，

1

8

)，过F₂且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，|PA|=|PB|，求直线l的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A（2，1），且离心率为

2

2

．
（1）求C的方程；
（2）若点P(-2

3

，0)，直线l：y=k+m与椭圆C交于两点B，D，且与x轴交于点T，连接PB和PD．从下列三个条件中选取一个作为条件，探究直线l是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由．
①点B关于x轴的对称点在直线PD上；
②若直线PB与直线PD的倾斜角分别为α，β，且满足α+β=π；
③B，D两点不在x轴上，设△BPT和△DPT的面积分别为S₁和S₂，且

S1

S2

=

|PB|

|PD|

．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，直线x=1与椭圆C相交于两点M，N，且|MN|=

10

．
（1）求C的方程；
（2）若点P(-2

3

，0)，直线l：y=kx+m与椭圆C交于两点B，D，且与x轴交于点T．连接PB和PD．从下列三个条件中选取一个作为条件，探究直线l是否过定点，如是，请求出，如果不是，请说明理由．
①点B关于x轴的对称点在直线PD上；
②若直线PB与直线PD的倾斜角分别为α，β，且满足α+β=π；
③B，D两点不在x轴上，设△BPT和△DPT的面积分别为S₁和S₂，且

S1

S2

=

|PB|

|PD|

．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(-

3

，2)，离心率为

3

3

．
（1）求C的标准方程；
（2）若过点（-1，0）且斜率为1的直线l与C交于M，N两点，求线段MN中点P的坐标．