已知f(x)=xlnx-

1

2

ax2+x有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）若f（x）的极大值大于e²，求a的范围；
（2）若x₂＞3x₁，证明：x1+x2＞

2ln3

a

．

设函数f（x）=ax²+2x-（2a+2）lnx,a∈R．
（1）若函数f（x）存在两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下顶点分别为A₁，A₂，点P(

2

2

，1)在C上，且

PA1

•

PA2

=-

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设坐标原点为O，若不经过点P的直线与C相交于M，N两点，直线PM与PN的斜率互为相反数，当△MON的面积最大时，求直线MN的方程．

已知函数f(x)=

lnx+a

x

的最大值是

1

2

．
（1）求实数a的值；
（2）设函数g(x)=

ex

2

，若∃x＞0，使g（x）≤f（x）+k,求实数k的取值范围．

已知函数f（x）=（x²-x-5）e^x．
（1）求f（x）的极值；
（2）若函数g（x）=f（x）+m,讨论g（x）的零点个数．

已知半径小于6的圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与直线l：x-y+m=0交于A，B两点，____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB=120°；条件②：|AB|=5

3

．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

过（2，0）的直线与C₁：y²=4x交于A，B两点，直线OA、OB与C₂：x²+λx+y²=0（λ≠0）分别交于C、D．
（1）证明：CD中点在x轴上；
（2）若A、B、C、D四点共圆，求|AB|所有可能取值．

已知函数f（x）=e^x+ax.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=e^mx-lnx+（m-1）x有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：2lnx₁+lnx₂＞e.

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左焦点为F，离心率为

1

2

，以坐标原点O为圆心，|OF|为半径作圆使之与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求C的方程；
（2）设点P（4，0），A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围．

有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 __________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 __________．