某兴趣小组为研究一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，设A=“患有地方性疾病”，B=“卫生习惯良好”．据临床统计显示，P(A|

B

)=

3

4

，P(B|

A

)=

12

13

，该地人群中卫生习惯良好的概率为

4

5

．
（1）求P（A）和P（A|B），并解释所求结果大小关系的实际意义；
（2）为进一步验证（1）中的判断，该兴趣小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为m（m∈N^*）的样本，利用独立性检验，计算得K²=2.640．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的k（k∈N^*）倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值．
参考公式及数据：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

；P（K²≥6.635）=0.010；P（K²≥10.828）=0.001．

新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占

2

3

，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．
（1）若根据卡方检验，有超过99.5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？
（2）研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）

p(K2≥k0)	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2，E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点，G为棱DD₁上的动点．
（1）求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁过点B，E，F的截面的面积；
（2）是否存在点G，使得二面角G-EF-B的大小为60°？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由．

甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．
（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；
（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；
（3）若P_i（i=0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P₀=0，P₆=1．证明：{P_i+1-P_i}（i=0，1，2，⋯，5）为等比数列．

某高科技产品研发中心组织“科技创新知识挑战赛”，组委会共设计10道不同的参赛题目．比赛规定：每个参赛队从这10道题中随机抽取3道题进行现场答题，若答对其中2道及以上即为挑战成功．现有甲、乙两队参加比赛，根据平时经验，甲队能正确完成其中的6道题，乙队能正确完成每道题的概率为

3

5

．求：
（1）乙队挑战成功的概率；
（2）甲队正确完成题目个数X的分布列和期望，并说明哪个队挑战成功的可能性更大．

已知二项式(x-

3

x

)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为a,各项的系数之和为b,a+b=32．
（1）求n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．

史明理，学史增信，学史崇德，学史力行．近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：

成绩/分	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100）
频数	40	90	200	400	150	80	40

（1）求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）假设此次测试的成绩X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差s²，已知s的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？
（3）该市教育局准备从成绩在[90，100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y为抽取的3份试卷中测试成绩在[95，100]内的份数，求Y的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，
p（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．

如图①，在平行四边形ABCD中，B=30°，AB=2，BC=

3

，将△ABC沿AC折起，使点B到达点P处，如图②，二面角P-AC-D的大小为80°，E，F分别为PA，CD的中点．

（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PAC所成角的大小．

某健身俱乐部举办“燃脂运动，健康体魄”活动，参训的学员700人中超过90%属于超重人员，经过艰苦的训练，近五个月学员体重指标变化如表：

月份x	1	2	3	4	5
超重人数y	600	500	420	340	240

（1）已知变量y与变量x具有线性相关关系，建立以x为解释变量，y为响应变量的一元经验回归方程；
（2）俱乐部王教练每天从骑车和游泳中随机选择一种对学员进行减脂训练．选择方法如下：第一天选择骑车，随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”来确定训练方式，若正面朝上的枚数小于3，则该天训练方式与前一天相同，否则选择另一种方式．求前三天骑车训练的天数X的分布列和数学期望．
附：回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计分别为：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

5

i=1

xiyi=5420．

在△ABC中，若sinA=3cosBcosC，则cos²B+cos²C的最大值为（　　）