已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a,b∈R）．
（1）若a=3，b=-5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）+ax²有两个不同的零点x₁，x₂，求证：lnx₁+lnx₂＞2．

已知椭圆E的中心在原点，周长为8的△ABC的顶点，A(-

3

，0)为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点P（m,2）（m∈R，m≠0），若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标．

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0），上顶点为B（0，1），Q是椭圆C在第一象限内的一动点，直线A₂Q与直线A₁B相交于点P，直线BQ与x轴相交于点R．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PR是否经过定点．若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由．

已知函数f（x）=x³-2x²+ax+1．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间(

1

3

，3)上有极值点，求实数a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点(1，

3

2

)，离心率为

3

2

，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标．

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1．
（1）当m=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求m的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知R（m,n）是椭圆C：

x2

18

+

y2

9

=1上一点，从原点O向圆R：（x-m）²+（y-n）²=6作两条切线，分别交椭圆C于P、Q两点．
（1）若点R在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；
（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并分别记为k₁、k₂，求k₁•k₂的值；
（3）试问|OP|²+|OQ|²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

已知函数f（x）=（a+1）e^x-ax（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若x＜0，f（x）≥-x²-x-1，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax²-a（xsinx+cosx）+cosx+a（x＞0）．
（1）当a=1时，
（Ⅰ）求（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并给出证明；
（2）若f（x）＞1恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ax-alnx-

ex

x

．
（1）若a=0，求函数y=f（x）的极值点；
（2）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）有三个不同的极值点x₁、x₂、x₃，且f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3e2-e，求实数a的取值范围．