101531 难度：3

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2．
（1）若x=1是函数f（x）的极小值点，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

101532 难度：3

已知函数f(x)=(a-1)lnx+x+

a

x

，其中a∈R．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若对于任意x∈（1，e]，都有f(x)-

a

x

＞0成立，求a的取值范围．

101533 难度：4

设函数f（x）=x³+

1

2

ax2-x+b在x=1时取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[-2，1]，都有f（x）＜2b²成立，求b的取值范围．

101534 难度：4

如图，已知椭圆Γ₁：

x2

8

+

y2

4

=1的两个焦点为F₁，F₂，且F₁，F₂为双曲线Γ₂的顶点，双曲线Γ₂的离心率e=

2

，设P为该双曲线Γ₂上异于顶点的任意一点，直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，且直线PF₁和PF₂与椭圆Γ₁的交点分别为A，B和C，D．
（1）求双曲线Γ₂的标准方程；
（2）证明：直线PF₁，PF₂的斜率之积k₁⋅k₂为定值；
（3）求

|AB|

|CD|

的取值范围．

101535 难度：4

已知函数f(x)=xln(x+1)，g(x)=a(x+

1

x+1

-1)．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）记h（x）=g（x）-f（x），若当x∈（-1，0）时，h（x）＞0恒成立，求正实数a的取值范围．

101536 难度：2

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1过点P（1，2），函数在点P处的切线斜率为8．
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；

101537 难度：3

已知A（1，0），B（4，0），动点M满足|MB|=2|MA|，记动点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）设圆C1：x2+y2-8x+15=0，若直线l交曲线C于P，Q两点，交圆C₁于R，S两点，并且满足|PQ|=2|RS|，证明：直线l过定点．

101538 难度：3

已知函数f（x）=x³-3x²+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=

3

2

x2-15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．

101539 难度：4

已知函数u（x）=lnx-a•x+a（a∈R）．
（1）求函数u（x）的单调区间；
（2）若f（x）=u（x）-a+1的两个零点x₁，x₂，且x₂-2x₁＞0，求证：2lnx₁+3lnx₂＞8ln2-5．

101540 难度：3

设函数f（x）=xe^x-2ae^x，g（x）=-2-ax,a∈R．
（1）求f（x）在x∈[0，+∞）上的单调区间；
（2）若在y轴右侧，函数f（x）图象恒不在函数g（x）的图象下方，求实数a的取值范围；
（3）证明：当n∈N^*时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln（2n+1）．