已知f（x）=ax²-cosx-xsinx+a（a∈R）．
（1）当a=

1

4

时，求y=f（x）在[-π，π]内的单调区间；
（2）若对任意的x∈R时，f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-ax,其中a为实数．
（1）若a=e,求函数f（x）的最小值．
（2）若方程f（x）=0有两个实数解x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：

2

x1

-2＞x2-x1．

已知函数f（x）=x⁴+x²+（a-1）x+1．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）已知x＞0时，e^x＞x+1恒成立；若当x＞0时，f（x）≤x⁴+e^x恒成立，求a的取值范围

已知函数f(x)=alnx+

2a2

x

+x(a≠0)，若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-2y=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间．

已知函数f（x）=xe^2x-ax³（a∈R）．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≥16时，证明：函数f（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点．

已知函数f（x）=e^1-x+alnx.
（1）若f（x）在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）≤x³恒成立，求实数a的值．

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）与焦点的距离为2．
（1）求p和m；
（2）若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为

15

2

，求点D的坐标．

2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪.74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵．我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”、“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
（1）若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
（2）若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月（X=1，2，⋯，12）摇到并获得了模型，求X的数学期望．

如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AE=AD=DE=2AB=2，将△ADE沿着AD折起，使得点E到达点P的位置，且平面PAD⊥平面ABCD，点F，M分别为线段AD，AP的中点，点G在线段PB上，且BG=λBP．
（1）当λ=

1

2

时，证明：FG∥平面PCD；
（2）设平面FGM与平面PAD所成二面角为θ，求sinθ的最大值及此时λ的值．

根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育．如表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：

月份x	1	2	3	4	5
不戴头盔人数y	120	105	90	70	65

（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，试根据小概率值α=0.05的χ²独立性检验，分析不戴头盔行为是否增加事故伤亡风险．

	不戴头盔	戴头盔
伤亡	15	10
不伤亡	25	50

参考数据和公式：

5

i=1

xiyi=1205，

y

=90，

̂

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

̂

y

-

̂

b

x

，χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

α	0.10	0.05	0.01	0.005
xα	2.706	3.841	6.635	7.879