101491 难度：3

已知函数f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个不相同的零点x₁，x₂，设f（x）的导函数为f′（x）．证明：x₁f'（x₁）+x₂f'（x₂）＞2lna+2．

101492 难度：4

已知函数f（x）=e^x-a,g（x）=ln（x+a），其中a∈R．
（1）讨论方程f（x）=x实数解的个数；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

101493 难度：5

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx，g（x）=ax-lnx-2．
（1）当f（x）与g（x）都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a的值；
（2）若f（x₁）=f（x₂）=2（x₁≠x₂），求证：

1

x1

+

1

x2

＞

2

a

．

101494 难度：5

已知函数f（x）=

a

2

x2-x-xlnx(a∈R)．
（1）若a=2，求方程f（x）=0的解；
（2）若f（x）有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x₁，x₂，求a的取值范围并证明f（x₁）+f（x₂）＜

1

2e

．

101495 难度：5

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为4，点(

6

，1)在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，斜率为k（k≠0）且不过F₁的直线l与C交于点A，B，若k为直线AF₁，BF₁斜率的等差中项，求F₂到直线l的距离d的取值范围．

101496 难度：2

已知函数f（x）=2x³+3（a-2）x²-12ax.
（1）当a=0时，求f（x）在[-2，4]上的最值；
（2）讨论f（x）的单调性．

101497 难度：3

已知函数f（x）=x³-ax²+x的一个极值点为1．
（1）求a；
（2）若过原点作直线与曲线y=f（x）相切，求切线方程．

101498 难度：3

已知P为椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1上一点，且点P在第一象限，过点P且与椭圆C相切的直线为l.
（1）若l的斜率为k,直线OP的斜率为k_OP，证明：k⋅k_OP为定值，并求出该定值；
（2）如图，PQ，RS分别是椭圆C的过原点的弦，过P，Q，R，S四点分别作椭圆C的切线，四条切线围成四边形ABCD，若kOP•kOS=-

9

16

，求四边形ABCD周长的最大值．

101499 难度：3

已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）∀x∈（0，+∞），关于x的不等式e^x-1+xln（tx）≥x²+2x恒成立，求正实数t的取值范围．

101500 难度：3

已知函数f(x)=alnx-

1

x

-2x，a∈R．
（1）当a=1时，判断f（x）的零点个数；
（2）若f(x)+ex+

1

x

+2x≥e恒成立，求实数a的值．