已知函数f（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

）．
（1）证明：x≥1时f（x）≤0恒成立；
（2）设n∈N^*，求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，P（3，

3

2

）是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）设M，N是C上两点，若线段MN的中点坐标为（-1，

1

2

），求直线MN的方程．

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点A（-

3

，0）作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，B，且|AD|•|AB|=

3

2

．
（1）求双曲线C的方程．
（2）已知点P（2，-1），两个不重合的动点M，N在双曲线C上，直线PM，PN分别与y轴交于点E，F，点Q在直线MN上，

OE

+

OF

=0且

PQ

⊥

MN

，试问是否存在定点T，使得|QT|为定值？若是，求出点T的坐标和|QT|；若不存在，请说明理由．

设x=-3是函数f（x）=ax³+bx²-3x+c的一个极值点，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为8．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值为10，求c的值．

已知函数f(x)=ax+

1

3

x3．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）+2e^x+2cosx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：g（x₁）+g（x₂）＞8．

已知函数f（x）=x²+2lnx+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax（a∈R）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂＜e,求g（x₁）-g（x₂）的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），定直线l：x=4，动点P在l上的射影为Q，且满足|PQ|=2|PF|．
（1）记点P的运动轨迹为E，求E的方程；
（2）过点F作斜率不为0的直线与E交于M、N两点，l与x轴的交点为H，记直线MH和直线NH的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，一条渐近线的方程为x+

2

y=0．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设F₁，F₂分别为双曲线C的左右焦点，P在C上且在第一象限，A与P关于原点对称，过点P作∠PF₁F₂的角平分线l,直线l的斜率为k₁，过点A作斜率为k₂的直线m,k₁k₂=-2，直线l与直线m交于点Q，直线m与双曲线C交于另一点B，若

QB

=3

QA

，求

k

2 1

．

已知O为坐标原点，F₁（-2，0），F₂（2，0）为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为C的右支上一点，当PF⊥x轴时，|OP|=

13

．
（1）求C的方程；
（2）若P异于C的右顶点A，点Q在直线x=

1

2

上，AP∥OQ，M为AP的中点，直线OM与直线QF₂的交点为N，求|NF₁|的取值范围．

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]（t＞-2）上为单调函数；
（2）若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f（x）-z=0（x∈R）在[-2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z的取值范围．