100911 难度：3

若函数f（x）=axe^x-（x+1）²（a∈R）．
（1）当a=-1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

100912 难度：3

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作直线L，交椭圆于A、B两点，△F₂AB的周长为8，且椭圆经过点(

3

，

3

2

)．
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点O作直线L的垂线，交椭圆于P，Q两点，试判断

1

|AB|

+

4

|PQ|2

是否为定值，若是，求出这个定值．

100913 难度：3

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆C经过点P（2，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A、B是椭圆上不同于点P的两个动点，直线PA、PB与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，证明：直线AB的斜率为定值．

100914 难度：3

已知函数f(x)=

1

2

e2x+(a-2)ex+(1-a)x(a∈R)．
（1）当a=-1时，求函数F（x）=f（x）+x的图象在点（0，F（0））处的切线方程；
（2）若f（x）的图象与直线y=1恰有两个不同的公共点，求实数a的取值范围．

100915 难度：3

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：x=1与x轴交于点M，过M作直线l₁，l₂，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点．已知直线AC交l于点G，直线BD交l于点H．试探究

|MG|

|MH|

是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

100916 难度：3

已知函数f（x）=x²（e^x+m），m∈R．
（1）当m=-1时，求f（x）在点A（1，e-1）处的切线方程．
（2）若g（x）=

f(x)

x

-lnx-1的图象恒在x轴上方，求实数m的取值范围．

100917 难度：3

已知函数f（x）=x（lnx-a），a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，4]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若a＞0，求证：f（x）≤x（x-2-lna）．

100918 难度：3

已知函数f（x）=-x+lnx,g（x）=xe^x-2x-m.
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

100919 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q（2，0），若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点．

100920 难度：3

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

5

2

，P为C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为S，T，且|PS|•|PT|=

4

5

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线的左顶点为A，过B（4，0）的直线l与双曲线C交于D，E两点，直线AD，AE与y轴分别交于M，N两点，设BM，BN的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂的值．