如图（1），已知四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在以AD为直径的半圆弧上，点E为BC的中点．现将半圆沿AD折起，如图（2），使异面直线PD与BC所成的角为45°，此时BP=

6

．

（1）证明：AB⊥平面PAD，并求点P到平面ABCD的距离；
（2）若平面PAB∩平面PDE=l,Q∈l,当平面QAB与平面QCD所成角的余弦值为

5

5

时，求PQ的长度．

第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同的排法种数（用数字作答）．
（1）3个合唱节目两两互不相邻；
（2）前4个节目中要有合唱节目．

已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a9(x+1)9+a10(x+1)10，其中a_i（i=0，1，2，⋯，10）为实常数．
求：（1）

10

i=1

ai的值；
（2）

10

i=1

iai的值．

如图1，在等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的动点，且满足DE∥BC，记

DE

BC

=λ．将△ADE沿DE翻折到△MDE位置，使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．

（1）当EN∥平面MBD时，求λ的值；
（2）试探究：随着λ值的变化，二面角B-MD-E的大小是否为定值？如果是，请求出二面角B-MD-E的正弦值；如果不是，请求出二面角B-MD-E的余弦值的取值范围．

“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为

1

4

，乙组能使生物成活的概率为

2

3

，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
（Ⅲ）为了激励研究热情，首先分别给予两个小组各50万元的研究经费，并规定试验每成功一次，额外奖励9万元．若甲乙两小组各进行2次试验，设两个小组获得的总费用（研究经费+额外奖励）为Y，求Y的数学期望．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：直线BD⊥平面PAC；
（2）求直线PB与平面PAD所成角的正切值．

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为6

2

的等边三角形，且PA=PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D，DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G．
（1）求二面角P-AB-C的余弦值；
（2）在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面 AA₁B₁B，AC=BC，四边形AA₁B₁B是边长为2的菱形，∠BAA₁=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若A₁C⊥BC₁，求平面BA₁C和平面BA₁C₁夹角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=2，且直线PD与底面ABCD所成的角为

π

4

．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若3

PM

=

MB

，求二面角M-AC-P的余弦值．

设函数f(x)=2sinxcos(x-

π

3

)-

3

2

，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为R，acosB-bcosA=R．
（1）若f（A）=1，求B；
（2）求

R-c

b

的取值范围．