已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（

6

，0），渐近线与抛物线C₂：y²=2px交于点（1，

2

）．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）设A是C₁与C₂在第一象限的公共点，作直线l与C₁的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN．求证：直线MN过定点．

经过点P（-2，-4）焦点在y轴上的抛物线标准方程．

已知函数f（x）=xe^x．
（1）求函数f（x）的极值并画出函数的大致图像；
（2）求证：f（x）≥ln（x+1）．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，点A（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（0，1）的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=-11，S₃=S₁₇．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）试求出所有的正整数m,使得对任意正整数n,均有S_m⩽S_n+1．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过C的左焦点F₁且与C相交于B、D两点，以线段BD为直径的圆经过椭圆C的右焦点F₂，求l的方程．

如图，在△ABC中，BC=2

3

，AB+AC=4，若以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．设动顶点A（x,y）．

（1）求顶点A的轨迹方程；
（2）记第（1）问中所求轨迹曲线为M，设D₁（-2，0），D₂（2，0），过点（1，0）作动直线l与曲线M交于P，Q两点（点P在x轴下方）．求证：直线D₁P与直线D₂Q的交点E在一条定直线上．

已知函数f（x）=ae^x-x-a.
（1）若f（x）≥0，求a的值；
（2）证明：当a≥1时，f（x）＞xlnx-sinx成立．

求下列函数的导数．
（1）y=2x⁵-3x²-4；
（2）y=

ex

sinx

．

已知曲线方程为2x²-y²=5，过（0，2）的直线l与曲线交于A，B两点，用反证法证明：以AB为直径的圆不经过原点．