已知函数f(x)=

alnx-bex

x

（a,b∈R且a≠0，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线f（x）在点x=e处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围；
（2）当a=1，b=-1时，若不等式xf（x）＞e+m（x-1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．

双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），有下列性质：若AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kOM•kAB=

b2

a2

为定值，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)也有类似的性质．若AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，猜想k_OM•k_AB的值，并证明．

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³是否恒成立，并说明理由．

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+1在x=3处取得极值-26．
（1）求a,b的值；
（2）若x∈[-4，4]，求f（x）的最大值．

平面内动点M到点F（2，0）的距离与M到直线x=

9

2

的距离之比为

2

3

．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l交轨迹C于不同两点A、B，交y轴于点N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，试问λ₁+λ₂是否等于定值，并说明理由．

已知f（x）=

1

2

x²-a（x-1）-xlnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求a的范围；
（2）当0＜a≤1-ln2时，证明：a+

1

2

＜f（x₁）+f（x₂）＜1．

已知函数f(x)=aln(x-

π

4

)+sinx，其中a为实数．
（1）若f（x）在区间(

π

4

，

3π

4

)上单调递增，求a的取值范围；
（2）求证：对任意的实数a,方程f（x）=cosx均有解．

已知函数f（x）=e^x-ax.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥e^-x恒成立，求实数a的取值范围．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过A（0，1），T(-

8

5

，-

3

5

)两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且∠MAT=∠NAT，直线AM，AN的斜率均存在．并分别记为k₁，k₂．
（1）求证：k₁k₂为常数；
（2）证明直线MN过定点．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线E：x²-y²=2的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若双曲线E的虚轴的上端点为B₂，问是否存在过点B₂的直线l交椭圆C于M，N两点，使得以MN为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．