已知圆柱的底面半径为3，体积为

32π

3

的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 __________，圆柱的体积为 __________．

用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是 __________．

以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是 __________．

已知a,b是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①b∥α；②a⊥α；③a⊥b.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

球面上有A、B、C、D四个点，若AB、AC、AD两两垂直，AB=AC=AD=4，则该球的表面积为 __________．

设m,n是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
其中正确的序号是 __________．

若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为 __________．
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．

已知A，B，C为球O的球面上的三个点，且AB⊥BC，球心O到平面ABC的距离为

2

，若球O的表面积为12π，则三棱锥O-ABC体积的最大值为 __________．

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为线段BD，AD₁上的动点，给出下列四个结论：
①当M为线段BD的中点时，M，N两点之间距离的最小值为

2

；
②当N为线段AD₁的中点时，三棱锥N-MB₁D₁的体积为定值；
③存在点M，N，使得MN⊥平面AB₁C；
④当M为靠近点B的三等分点时，平面D₁AM截该正方体所得截面的周长为2

5

+2

2

+2．
其中所有正确结论的序号是 __________．

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段B₁D₁上，且D1E=

1

4

B1D1，给出下列四个结论：
①存在点P，使得平面PB₁D₁∥平面C₁BD；
②存在点P，使得△PB₁D₁是等腰直角三角形；
③若PE≤5，则点P轨迹的长度为2

7

；
④当

AP

PC

=

1

3

时，则平面PB₁D₁截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得截面图形的面积为18．
其中所有正确结论的序号是 __________．