如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，BC=CC₁，点D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D，
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为6，求四面体A₁C₁BD的体积．

如图，已知棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AB上运动．
（1）证明：平面A₁C₁D∥平面ACB₁
（2）求三棱锥C₁-PA₁B₁的体积．

如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC=∠D=90°，AB=BC=2，CD=1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使 _____，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD=

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．②AC为四面体ABDC外接球的直径．③平面ABC⊥平面BCD．
（1）判断直线MN与平面ABD是否垂直，并说明理由；
（2）求直线DM和BC所成的角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M为棱PC的中点，平面ABM与棱PD交于点N．
（Ⅰ）求证：N为棱PD的中点；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，AB=4，AD=2，△PAD为等边三角形，求四棱锥P-ABMN的体积．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱DD₁，C₁D₁的中点．
（1）证明：A₁B⊥平面ADC₁B₁；
（2）证明：B₁F∥平面A₁BE．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E是棱PC上的动点（不与P，C重合），PD交平面ABE于点F．
（Ⅰ）求证：CD∥平面ABE；
（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面ABE；
（Ⅲ）若E是PC的中点，平面ABE将四棱锥P-ABCD分成五面体PABEF和五面体ABEFDC，记它们的体积分别为V₁，V₂，直接写出V₁：V₂的值．

在平面四边形ABCD中（如图1），AB∥CD，CD⊥DE，BE=2CD，E是AB中点，现将△ADE沿DE翻折得到四棱锥A-BCDE（如图2），

（1）求证：平面AED⊥平面AEB；
（2）图2中，若F是EB中点，试探究在平面AED内是否存在无数多个点P，都有直线CP∥平面ADF，若存在，请证明．

在平行四边形ABCD中AB=3，BC=2，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE=

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．连结EB交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置．如图2．

（1）证明：直线AD⊥平面BFP；
（2）若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥P-ABF与三棱锥H-GBC的体积之比．

如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为AA′上的点，F为CC′上的点，M，N分别为BA，BE的中点，CM∥平面BEF．
（1）证明：M，N，F，C四点共面；
（2）证明：平面BEF⊥平面ABB′A′．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，D₁分别为棱AC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求证：平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁．
条件①：BD⊥AD₁；
条件②：BA=BC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．