2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行．杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

班号	1	2	3	4
人数	30	40	20	10

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品．假设每位同学的作答情况相互独立．
（1）求各班参加竞赛的人数；
（2）2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为

1

3

，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率．

冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分．冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响．甲、乙得3分的概率分别为

1

3

，

1

4

；甲、乙得2分的概率分别为

2

5

，

1

2

；甲、乙得1分的概率分别为

1

5

，

1

6

．
（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；
（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A，B两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别．记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为P₁，P₂．为测试AI软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将100首音乐随机分配给A，B两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌，A，B两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．
（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的

3

5

；在正确识别的音乐数中，A组占

2

3

；在错误识别的音乐数中，B组占

1

2

．
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并根据α=0.05的独立性检验，能否认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？

	正确识别	错误识别	合计
A组软件
B组软件
合计			100

（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
（2）研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设P1+P2=

4

3

，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时P₁，P₂的值．附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

班级	一	二	三	四
人数	3	2	3	4

（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；
（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是

1

6

，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的．设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

如图，在圆柱体OO₁中，OA=1，O₁O=2，劣弧A₁B₁的长为

π

6

，AB为圆O的直径．
（1）在弧AB上是否存在点C（C，B₁在平面OAA₁O₁同侧），使BC⊥AB₁，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
（2）求二面角A₁-O₁B-B₁的余弦值．

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥CD，AD∥BC，AD=CD=2，BC=3，A₁C₁与B₁D₁交于E，G为棱BB₁上一点，且BB₁=3BG，点C₁到平面A₁BD的距离为

10 17

17

．
（1）判断AG是否在平面AED₁内，并说明理由；
（2）求平面AD₁E与平面AA₁D₁所成角的余弦值．

（1）计算：

A 2 5 +C 2 5

A 3 3 -A 2 4

；
（2）已知

C

3x 17

=

C

2x+2 17

(x∈N*)，求x.

有6本不同的书．（以下各题用数字作答）
（1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种分法？
（2）分成三份，每份2本，有多少种分法？
（3）分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种分法？

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=2，AD=PD=4，∠BAD=60°，∠ADP=120°，点E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，PC=AB=2AD=2CD=2，点E在棱PB上．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；
（2）当

BE

=2

EP

时，求二面角P-AC-E的余弦值．