已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

3

2

，A₁、A₂分别为椭圆C的左、右顶点，且|A₁A₂|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过F₂的直线l与椭圆C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值；
（3）若椭圆上另有一点M，使得直线MA₁与A₂B斜率k₁、k₂满足k₂=2k₁，请分析直线BM是否恒过定点．