已知P（x₀，y₀）是焦距为4

2

的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，过P的一条直线l₁与双曲线C的两条渐近线分别交于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且3

OP

=

OP1

+2

OP2

，过P作垂直的两条直线l₂和l₃，与y轴分别交于A，B两点，其中l₂与x轴交点的横坐标是

a2

x0

．
（1）求x₁x₂-y₁y₂的值；
（2）求S△OP1P2的最大值，并求此时双曲线C的方程；
（3）判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由．