94305 难度：5 简短答案： 见详解

已知函数f（x）=ax-

a

x

-lnx,a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：

n

i=2

(

1

i2lni

)＞

(n+2)(n-1)

2n(n+1)

（n∈N*且n≥2）．