如图，A₁M为圆柱O₁O₂的一条母线，且O₁O₂=2O₁A₁．过点A₁且不与圆柱底面平行的平面α与平面O₁A₁MO₂垂直，轴O₁O₂与α交于点O，平面α截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面O₁A₁MO₂的另一交点为A₂．已知该截线为一椭圆，且A₁A₂和B₁B₂分别为其长轴和短轴，O为其中心．N为B₂在上底面内的射影．记椭圆的离心率为e.
（1）证明：B₁B₂⊥O₁O₂，并求e的取值范围；
（2）当e=

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时，求直线MN与平面α所成的角的正弦值．