已知cosx+sinx=

1

3

，则sin2x=（　　）

已知函数f（x）=

x2

2

+lnx-2ax,a为常数，且a＞0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m,n且f（m）+f（n）=1-4a,证明：m+n＞2．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4．过右焦点F₂的直线l与C交于A，B两点，△ABF₁的周长为8

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O作一条垂直于l的直线l₁，l₁交C于P，Q两点，求

|AB|

|PQ|

的取值范围．

已知f（x）=（x²-2x）lnx+（a-

1

2

）x²+2（1-a）x,a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

已知F₁，F₂分别为双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且

3

|PF₁|=

7

|PF₂|，cos∠F₁PF₂=

21

7

．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线E实轴长为2，过点F₂且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|=|QB|，试探究

2|QF2|

|AF1|+|BF1|-4

是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=ax³+bx+2在x=2处取得极值-14．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[-3，3]上的最值．

已知函数f（x）=e^x（ax²-x-1）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，-1）处的切线方程；
（2）若f（x）在x=-2处取得极大值，求a的取值范围；
（3）求证：当a≥1时，f（x）≥-e.

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，且过点P(1，

3

2

)．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点N(

1

2

，0)，求|

NA

+

NB

|的范围．

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2b在x=-1处取得极大值2．
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最值．

函数f（x）=e^x-lnx,f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求f′（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）＞2．