试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹__________（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹__________（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹__________（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹__________（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

已知数列{a_n}中，a1=

2

2

，an+1=

n+1 n+2

an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

用数学归纳法证明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≥

3n

2n+1

（n∈N^*）．

已知函数f（x）=（1-x）e^x，设Q₁（x₁，0），过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）试求出x₂的值并写出x_n+1与x_n的关系；
（ II）求证：n-1＜

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

≤n-

1

2

(n∈N*)．

函数数列{f_n（x）}满足：f1(x)=

x

1+x2

(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，求证(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

已知函数f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-

3

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤

( 3 -1)n

2n-1

；
（Ⅱ）证明S_n＜

2 3

3

．

证明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）