将所有平面向量组成的集合记作R²，f是从R²到R²的映射，记作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是实数．定义映射f的模为：在|

x

|=1的条件下|

y

|的最大值，记做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及实数λ使得f（

x

）=λ

x

，则称λ为f的一个特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），计算f的特征值，并求相应的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，实数a₁，a₂，b₁，b₂应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并验证f满足这两个条件．

定义

xn+1 yn+1

=

1 0 1 1

xn yn

为向量

OPn

=（x_n，y_n）到向量

OPn+1

=（x_n+1，y_n+1）的一个矩阵变换，其中O是坐标原点，n∈N^*，已知

OP1

=（2，0），则

OP2016

的坐标为__________．

设矩阵M=

a 0 2 1

的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x²+y²=1，求曲线C的方程．

已知M=

1 -2 -2 1

，α=

3 1

，试计算M⁵α．

已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量

e1

=

2 3

并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量

e2

=

1 -1

，

α

=

-1 1

（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M⁵

α

．

已知矩阵A=

a -1 b 0

的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量

a

=

1 1

．
（Ⅰ）试求矩阵A^-1；
（Ⅱ）求曲线2x-y+1=0经过A^-1所对应的变换作用下得到的曲线方程．

已知矩阵M=

2 a 2 b

的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．

设矩阵A=

a b c d

，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=

1 -1

，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为α₂=

3 2

，求ad-bc的值．

已知矩阵A=

a k 0 1

（k≠0）的一个特征向量为

a

=

k -1

，矩阵A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．
（1）求实数a，k的值；
（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．

已知二阶矩阵M=（

a 1 0 b

）有特征值λ₁=2及对应的一个特征向量

e

1=

1 1

．
（Ⅰ）求矩阵M；
（II）若

a

=

2 1

，求M10

a

．
（2）已知直线l：

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

（t为参数），曲线C₁：

x=cosθ y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的

1

2

倍，纵坐标压缩为原来的

3

2

倍，得到曲线C₂C，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．