已知双曲线C₁的焦点在x轴上，焦距为4，且C₁的渐近线方程为x±

3

y=0．
（1）求双曲线C₁的方程；
（2）若直线l：y=kx+

3

与椭圆C2：

x2

4

+

y2

2

=1及双曲线C₁都有两个不同的交点，且l与C₁的两个交点A和B满足

OA

•

OB

＜6（其中O为原点），求k²的取值范围．

双曲线Γ：

x2

4

-

y2

3

=1的左右顶点分别为A₁，A₂，动直线l垂直Γ的实轴，且交Γ于不同的两点M，N，直线A₁N与直线A₂M的交点为P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点H（1，0）作C的两条互相垂直的弦DE，FG，证明：过两弦DE，FG中点的直线恒过定点．

已知双曲线的一个焦点为（5，0），其渐近线方程为y=±

3

4

x，求此双曲线的标准方程．

过双曲线C：

x2

2

-

y2

2

=1的右焦点F且与x轴不重合的直线交双曲线C于A、B两个点，定点D（

3

2

，0）．
（1）当直线AB垂直于x轴时，求直线AD的方程．
（2）设直线AD与直线x=1相交于点E，求证：FD∥BE．

2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚

8

v0

秒（注：信号每秒传播v₀米）．在时刻t₀时，测得机器鼠距离O点为4米．
（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t₀时机器鼠所在位置的坐标；
（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设A₁，A₂分别为C的左右顶点，P为C异于A₁，A₂一点，直线A₁P与A₂P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与双曲线

y2

6

-

x2

2

=1的渐近线相同，且经过点（2，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知双曲线C的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l经过F₂，倾斜角为

3

4

π，l与双曲线C交于A，B两点，求△F₁AB的面积．

已知F₁，F₂为双曲线C：x2-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF₁F₂=30°．
（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；
（2）过点F₂的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF₁B的面积最小值；
（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q₁，Q₂两点，求平行四边形OQ₁QQ₂的面积．

已知焦点在x轴上的抛物线和双曲线有共同的焦点，且抛物线和双曲线的渐近线交于点P（4，8）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求双曲线的标准方程．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=

3

3

x，点(2

3

，1)在双曲线上，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．
（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与抛物线的交点为A，B，l₂与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．