盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取两次，第二次取得一等品的概率；
（3）取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．

甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球．
（1）求“三球中至少有一个为白球”的概率；
（2）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的分布列．

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BD₁和AD的中点．
（1）求证：CD₁⊥EF；
（2）求直线CD₁与平面BEF所成角的正弦值．

第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会．某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组：[0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]，并整理得到如下频率分布直方图：
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．
（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；
（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在（2，3]的学生人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：①收看新闻或收看比赛集锦，②收看比赛转播或到现场观看．他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如表：

日均收看北京冬奥会的时长/小时	通过方式①收看	通过方式②收看
[0，0.5]	1	0
（0.5，1.5]	2 3	1 3
（1.5，3]	1 3	2 3

日均收看北京冬奥会的时长在[0，0.5]，（0.5，1.5]，（1.5，3]的学生通过方式①收看的平均时长分别记为μ₁，μ₂，μ₃，写出μ₁，μ₂，μ₃的大小关系．（结论不要求证明）

随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动．某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如表所示：

	男	女	合计
了解	150		240
不了解		90
合计

（1）根据所提供的数据，完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
（2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为抽取的3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：

α	0.10	0.05	0.010	0.005
xa	2.706	3.841	6.635	7.879

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，E为棱BB₁上靠近B点的三等分点，AC=1，CC₁=BC=3．
（1）证明：AC⊥C₁E；
（2）求平面AEC₁与平面ABC所成角的余弦值．

近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注．某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如下2×2列联表．已知了解的人数为280，不了解的人数为120．

	男家长	女家长	合计
了解	160
不了解		80
合计

（1）请补充完整上面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在该校的家长中随机抽取10人，记对“ChatGPT”了解的男家长人数为X，求X的期望．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p₁，p₂，且p1+p2=

4

3

，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？

某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入y（单位：亿元）与年份代码x共10组数据，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年．现用模型①y=bx+a,②y=c+d

x

分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中ti=

xi

，

t

=

1

10

10

i=1

ti．

y	t	10 i=1 (xi- x )2	10 i=1 (ti- t )2	10 i=1 (yi- y )(xi- x )	10 i=1 (yi- y )(ti- t )
75	2.25	82.5	4.5	121.4	28.82

（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据①中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据该模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组具有线性相关关系的数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），⋅⋅⋅，（x_n，y_n），其回归直线

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

x的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

已知m,n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列结论中正确的是（　　）