2019年，5G基站正式获得国家工信部入网批准，自此，中国进入“5G时代”．相比于4G，5G具有“更高网速、低延时高可靠、低功率海量连接”的特点，日前这一技术被广泛应用于工业、能源、教育等多个领域．某运营商为了解5G网络使用满意度，从运营系统中选出300名客户进行调查，其中，青年（≤45岁）客户与中老年（45岁）客户的比例为3：2，在220名持满意态度的客户中，中老年客户的比例为

4

11

．
（1）完成2×2列联表，根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为对5G网络的满意度和年龄有关联？

年龄	5G网络满意度		合计
	满意	不满意
青年（≤45岁）
中老年（＞45岁）
合计

（2）为更好地推广5G网络，运营商计划开展抽奖活动，规则如下：参与者从装有3个红球，6个白球（形状，大小，质地完全相同）的箱子中随机摸一个球，摸出后放回，摸到红球奖励5元充值券，摸到白球奖励2元充值券．若计划有100名客户参与抽奖，求运营商需提供充值券总金额X的数学期望．
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（χ2≥k）	0.01	0.05	0.025
k	2.706	3.841	5.024

研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：

日期	第一天	第二天	第三天	第四天	第五天	第六天
昼夜温差x（℃）	4	7	8	9	14	12
新增就诊人数y（位）	y1	y2	y3	y4	y5	y6

参考数据：

6

i=1

y

2 i

=3160，

6

i=1

(yi-

y

)2=256．
（1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为

17

24

，求y₁的值；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数r=

15

16

，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．
参考公式：b=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 • n i=1 (yi- y )2

．

如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=

3

．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值．

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余数．

已知

a

=(2，-1，3)，

b

=(-4，2，x)，

c

=(1，-x,2)，
（1）若

a

∥

b

，求x的值；
（2）若(

a

+

b

)⊥

c

，求x的值．

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

2

5

．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是

4

7

，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

某工厂生产两批产品，第一批的10件产品中优等品有4件；第二批的5件产品中优等品有3件，现采用分层抽样方法从两批产品中共抽取3件进行质量检验．
（I）求从两批产品各抽取的件数；
（Ⅱ）记ξ表示抽取的3件产品中非优等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．

如图：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是线段A₁D的中点，点N在线段C₁D₁上，且D1N=

1

3

D1C1，∠A₁AD=∠A₁AB=60°，∠BAD=90°，AB=AD=AA₁=1．
（1）求满足

MN

=x

AB

+y

AD

+z

AA1

的实数x、y、z的值．
（2）求AC₁的长．

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计数据（x_i，y_i）（i=1，2，3，4，5）由资料知y对x呈线性相关，并且统计的五组数据得平均值分别为

x

=4，

y

=5.4，若用五组数据得到的线性回归方程

̂

y

=bx+a去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元，
（1）求回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？