设z是纯虚数，若

3+z

1+i

是实数，则z的虚部为 __________．

由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥C₁-B₁CD₁后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点．
（1）求证：A₁O∥平面B₁CD₁；
（2）求证：平面A₁BD∥平面B₁CD₁；
（3）设平面B₁CD₁与底面ABCD的交线为l,求证：BD∥l.

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=AB，G是棱A₁C₁的中点．
（1）证明：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若AB=1，BC=2，求三棱锥A₁-AB₁G体积．

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）BF∥平面PAD；
（2）CD⊥平面BEF．

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E为棱CC₁的中点．
（1）证明：AC₁∥平面BDE．
（2）求异面直线AC₁与BE所成角的正弦值．

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，PA=AB=2，点M是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面MDB；
（2）求三棱锥P-ADM的体积．

如图，在四面体A-BCD中，平面ABC⊥平面ACD，∠ABD=∠BCD=90°，∠BCA 为锐角，E是AB的中点，P是DE的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）求证：AB⊥平面BCD．

小波到一个广告公司去应聘包装设计师职位，考官给大家出了一道题目：某礼品厂生产一种棱长为a的正四面体形状的礼品（如图）．请你为它设计一个包装盒，形状随意，可提出不同方案供考官选择（不考虑包装盒材料的质量、厚度、重量及接缝处损耗）．

（1）小波给出了长方体和圆柱两个设计方案（如图），请分别计算这两个包装盒的表面积；
（2）考虑到礼品各面易碎，礼品较大，包装盒体积不能太大，但礼品各面与包装盒表面之间需要有填充物，请你帮小波设计一个方案．（需要画图表示，并配以简单说明理由）

如图①在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），D（0，2），B(

3

，0)，E(

3

，1)，动点P在线段OD上．（1）求|

PD

+3

PE

|的最小值；
（2）以四边形OBED为底面做四棱锥A-OBED如图②，使OD⊥平面ABO，且OB=BA，求证：平面ADE⊥平面AOD．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；
（Ⅱ）若M是PB棱上一点，且MB=3PM，求三棱锥M-PAD与三棱锥P-DEF的体积之比．