如图，BD是∠ABC的角平分线，∠ABE+∠BCF=180°．
（1）求证：DE∥CF；
（2）若CB是∠ACF的角平分线，∠ADB=k∠ABD，求k的值．

如图，点B在AC上，点E在DF上，AF分别与BD，CE相交于G，H，且∠EHF+∠BGH=180°，∠D=∠C．试说明：
（1）BD∥CE；
（2）DF∥AC；
（3）∠A=∠F．

如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E、F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．
①当点G在点F的右侧时，若β=70°，求α的大小；
②点G在整个运动过程中，直接写出α和β之间的数量关系．

将以下问题的论述过程补充完整并在括号内写出相应的推理依据：如图，将图1中两个相同的三角板拼在一起得到图2所示图形，在图2中，F是DE和CB的交点，D在线段AC上，G在线段DB上，∠ABC=∠DBE=90°，∠CAB=∠EDB=60°，∠ACB=∠DEB=30°，DE∥AB，AG平分∠CAB，求证：AG∥BE．
证明：∵DE∥AB（__________①），
∴∠EDB=∠ABD（__________②），
又∵∠EDB=60°，
∴∠ABD=__________③，
∵∠DBE=90°，
∴∠ABE=∠ABD+__________④=150°，
∵AG平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠GAB=__________⑤=30°（__________⑥），
∴∠GAB+∠ABE=__________⑦，
∴AG∥BE（__________⑧）．

同学们还记得今年“春节联欢晚会”扭秧歌的机器人吗？现如今，我国的工业智能化发展已从“制造大国”转向了“智造强国”，在我国的“中国制造2025”宏大计划中，人工智能已经占据了重要地位．如图，某智能化工厂生产了一种智能机器，机械臂的精准操作可控制精确的方向，其中两条平行的机械轨道AB与CD，机械臂与轨道AB的接触点记为M，机械臂与轨道CD的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和Q来调节三个机械臂PM，PQ和QN的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM，PQ和QN不在同一条直线上．

（1）如图1，当∠AMP=∠QND时，猜想机械臂PM与QN的位置关系，并说明理由；
（2）如图2．当∠AMP=30°，∠QND=45°，∠MPQ=α时，求∠PQN的度数（用含α的式子表示）；
（3）当∠AMP=β（0°＜β＜90°），∠QND=θ（0°＜θ＜180°）时，请直接写出∠MPQ与∠PQN之间的数量关系（用含β，θ的式子表示）．

（1）如图1，∠EFG=120°，顶点F在直线CD上，边FE、FG分别与直线AB交于点M、H，且∠CFE+∠GHB=60°．求证：AB∥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下分别作∠EFD与∠AHG的平分线FN、HN交于点N，求∠N的度数；
（3）如图3，在（1）的条件下作∠CFE的角平分线FI，过点H作一条射线HQ，交直线FI于点P，当∠HPF=30°时，请直接写出∠BHP与∠FHP的关系式．

如图，△ABC中，∠ACB=71°26′，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在CD上，且满足∠1+∠2=180°，∠3=∠B，求∠4的度数．
读下面解答过程，完成填空．
解：∵∠1+∠2=180°（已知），
∠1+∠__________=180°（ __________），
∴∠2=∠__________．（等式性质）
∴AB∥__________．（ __________）
∴∠3=∠ADE．（ __________）
∵∠3=∠B，（已知）
∴∠B=∠ADE．（等式性质）
∴DE∥BC．（ __________）
∴∠4=∠ACB=71°26′．（ __________）

如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE=∠E．试说明∠ADC=∠DCE．完成推理过程：
∵AB∥DC（已知），
∴∠1=∠__________（ __________），
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠__________=∠__________（角平分线的定义），
∵∠CFE=∠E（已知），
∴∠2=∠__________（ __________），
∴__________∥BE（ __________），
∴∠ADC=∠DCE（ __________）．

如图，已知BC∥FG∥DE，∠BAD：∠BAF：∠DAC=1：2：3．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求∠AFG的度数．

中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字，如图②是由图①抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN=∠G．

证明：如图②，延长EF交CD于点P，
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF=∠EPD（ __________），
又∵∠AEF=∠GHD（已知），
∴∠EPD= __________（等量代换），
∴EP∥GH（ __________），
∴∠EFN+__________=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵MG∥__________（已知），
∴∠FNG+∠G=180°（ __________），
∴∠EFN=∠G（ __________）．