在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（1，0）．
（1）若该二次函数图象的顶点坐标为P（2，1），求抛物线的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C．若a=4，-8≤b≤-，求△ABC面积的最大值，并说明此时b的值；
（3）已知a=1，点M（-3，-2），N（3，0），若该二次函数图象与线段MN只有一个交点，直接写出b的取值范围．